Метод налаштування ПІД-регулятора за заданим розташуванням полюсів системи керування
DOI:
https://doi.org/10.20535/2617-9741.4.2022.269779Ключові слова:
налаштування ПІД-регулятора, розташування полюсів, оптимізація, ПІ-регулятор, система другого порядкуАнотація
Розміщення полюсів замкненої системи гарантує отримання потрібних динамічних процесів. Кількість змінних параметрів регулятора визначає кількість полюсів, які з його використанням можливо розмістити. Значна кількість промислових процесів, які описані моделями порядку, вище другого, керуються ПІД-регуляторами. Через це потрібно використовувати методи розміщення домінантних полюсів замкненої системи. Це складно зробити аналітично, тому доцільно використовувати числову оптимізацію.
Система автоматичного керування представлена об’єктом другого порядку з відомою передавальною функцією й регулятором із невідомими параметрами. Всього досліджено шість об’єктів як із ПІ-, так і з ПІД-регулятором. Для налаштування використано безумовну багатовимірну оптимізацію. Задачею оптимізації є мінімізації зваженої суми відстаней між відповідними полюсами налаштовуваної та бажаної систем. З використанням числових методів середовища Matlab було побудовано графіки цільової функції для ПІ-регулятора (поверхня) й ПІД-регулятора (набір ліній рівня, що заповнюють тривимірний простір).
Налаштування системи з ПІД-регулятором у більшості випадків дозволяє точно відтворити задані полюси. Винятки становлять випадки з налаштування за парою комплексно-спряжених домінантних полюсів для випадку, коли недомінантний полюс було проігноровано.
На противагу ПІД-регулятору, використання ПІ-регулятора накладає помітні обмеження на множину досяжних полюсів замкненої системи. Для будь-якого об’єкту існує нижня межа дійсної частини домінантних полюсів, тобто існує вертикальна пряма, ліворуч від якої полюси системи з ПІ-регулятором не можуть знаходитись. При досягненні цієї межі всі три полюси системи знаходяться на одній вертикальній прямій, тобто мають однакову дійсну частину. Порогове значення дійсної частини залежить від полюсів об’єкту. Наприклад, для аперіодичного об’єкту з кратним полюсом -0,4 ця межа має приблизне значення -0,27, а для подібного коливального об’єкту з полюсами -0,4-0,2j і -0,4+0,2j ця межа близька до -0,8.
Результат налаштування залежить від вагових коефіцієнтів у цільовій функції. Врахування недомінантного полюсу з таким самим ваговим коефіцієнтом, що й для домінантних полюсів, при налаштуванні ПІ-регулятора призводить до суттєвого погіршення результатів. Врахування недомінантного полюсу зі меншим ваговим коефіцієнтом може дати кращі результати, ніж налаштування лише за домінантними полюсами, а саме набір полюсів із тими самим дійсними частинами, але з меншими уявними.
Графіки-поверхні цільової функції для ПІ-регулятора з будь-якого поєднання об’єкту, полюсів бажаної системи й вагових коефіцієнтів цільової функції на масштабах всього проміжку оптимізації мають подібний вигляд із глобальним мінімумом поблизу початку координат. На менших масштабах вигляд цих графіків може суттєво відрізнятися залежно від розташування полюсів об’єкту. Графіки можуть мати розриви, злами (лінії, на яких розрив має похідна цільової функції). Проте для аперіодичних і коливальних об’єктів, домінантні полюси яких мають однакові дійсні частини, цільова функція в близькому околі оптимуму має подібні за зовнішнім виглядом графіки попри те, що значення параметрів ПІ-регулятора помітно відрізняються.
Візуалізація тривимірного поля значень цільової функції для систем із ПІД-регулятором показала так само показала схожі між собою результати на великих масштабах, але зі значними відмінностями в близькому околі оптимуму. Графіки для аперіодичних та коливальних об’єктів із однаковими дійсними частинами домінантних полюсів є подібними.
Розглянутий метод налаштування регуляторів низького порядку дозволяє досягати розташування полюсів системи із заданим типом регулятора, яке є близьким до найкращого з усіх теоретично можливих.
Посилання
Åström, K. J., Hägglund, T., & Astrom, K. J. (2006). Advanced PID control (Vol. 461). Research Triangle Park: ISA-The Instrumentation, Systems, and Automation Society.
Hauksdóttir, A. S., & Sigurðsson, S. Þ. (2011, June). The matching coefficients PID controller. In Proceedings of the 2011 American Control Conference (pp. 710-715). IEEE. DOI: 10.1109/ACC.2011.5990764
Hauksdottir, A. S., Herjólfsson, G., & Sigurosson, S. P. (2006, December). Zero optimizing tracking and disturbance rejecting controllers-the extended PID controller. In Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and Control (pp. 5633-5638). IEEE. DOI: 10.1109/CDC.2006.377739
Hauksdottir, A. S., Herjolfsson, G., & Sigurosson, S. P. (2007, July). Optimized Zero Tracking and Disturbance Rejecting Controllers-The Generalized PID Controller. In 2007 American Control Conference (pp. 5790-5795). IEEE. DOI: 10.1109/ACC.2007.4282667
Hauksdóttir, A. S., & Sigurðsson, S. Þ. (2018). A pole placing PID type controller. IFAC-PapersOnLine, 51(4), 942-947. DOI: 10.1016/j.ifacol.2018.06.101
Jiang, D. C., & Moore, J. B. (1996). Least squares pole assignment by memoryless output feedback. Systems & control letters, 29(1), 31-42. DOI: 10.1016/0167-6911(96)00044-8
Fišer, J., & Zítek, P. (2019). PID controller tuning via dominant pole placement in comparison with Ziegler-Nichols tuning. IFAC-PapersOnLine, 52(18), 43-48. DOI: 10.1016/j.ifacol.2019.12.204
Killingsworth, N. J., & Krstic, M. (2006). PID tuning using extremum seeking: online, model-free performance optimization. IEEE control systems magazine, 26(1), 70-79. DOI: 10.1109/MCS.2006.1580155
Schmid, R., Nguyen, T., & Pandey, A. (2011, November). Optimal Pole placement with Moore's algorithm. In 2011 Australian Control Conference (pp. 124-129). IEEE.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2022 Анатолій Іванович Жученко, Редріх Олегович Путятін
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами:
- Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.
- Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
